W świecie matematyki nastąpiło wydarzenie, które wielu naukowców już dziś określa mianem epokowego. Międzynarodowy zespół badaczy ogłosił ukończenie dowodu geometrycznej hipotezy Langlandsa.
Program Langlandsa narodził się pod koniec lat 60., kiedy to młody kanadyjski matematyk Robert Langlands wysłał do Andre Weila list z ideą połączenia dwóch pozornie odległych światów: teorii liczb i analizy harmonicznej. Od tamtej pory wizja Langlandsa inspirowała pokolenia matematyków, stając się jednym z najambitniejszych projektów współczesnej nauki.
Czym tak adekwatnie jest geometryczna hipoteza Langlandsa?
Geometryczna hipoteza Langlandsa to matematyczny most łączący 2 pozornie odległe światy, czyli teorię liczb i analizę harmoniczną. W centrum tej koncepcji stoją powierzchnie Riemanna, czyli złożone struktury, które można sobie wyobrazić jako sfery, pączki czy precle z otworami, ale opisane przy pomocy liczb zespolonych. Po jednej stronie tej hipotezy znajdują się grupy fundamentalne, czyli zestawy wszystkich możliwych pętli oplatających taką powierzchnię. Po drugiej stronie są tzw. wiązki, czyli abstrakcyjne narzędzia, które przypisują każdemu punktowi na powierzchni określoną przestrzeń wektorową, tworząc zawiłą, ale uporządkowaną sieć relacji.
W takiej formie została ona sformułowana w latach 80. XX w. przez Vladimira Drinfelda. Hipoteza zakłada niezwykłą korespondencję pomiędzy reprezentacjami ich grup podstawowych (matematycznych opisów pętli wokół tych powierzchni) a tzw. snopami, czyli strukturami geometrii algebraicznej przypisującymi przestrzenie wektorowe punktom na rozmaitości.
Udało się ją potwierdzić dzięki gigantycznemu wysiłku badaczy
Jak czytamy na łamach Nature, rozpisany na prawie 1000 stron w kilku artykułach dowód, to efekt wieloletniej współpracy 9. matematyków. Ich liderami byli Dennis Gaitsgory z Instytutu Badań Ciała Stałego im. Maxa Plancka w Bonn i Sam Raskin z Uniwersytetu Yale. Co ciekawe, wkład zespołu doceniło już teraz środowisko naukowe. W kwietniu br. Gaitsgory otrzymał prestiżową nagrodę Breakthrough Prize in Mathematics, a Raskin wyróżnienie New Horizons.
Specjaliści podkreślają, iż to dopiero początek prawdziwej rewolucji matematycznej. Udowodniona właśnie wersja dotyczy tzw. przypadku nierozgałęzionego, a prace realizowane są nad bardziej złożonymi scenariuszami, w których powierzchnie mają dodatkowe osobliwości.
Odkrycie otwiera wiele nowych drzwi, zamiast zamykać jedne
Eksperci mówią wprost, iż dowód nie zamyka tematu, ale otwiera nowe ścieżki. Zespół Gaitsgory’ego współpracuje już z m.in. Jessicą Fintzen, specjalistką od reprezentacji grup p-adycznych, aby połączyć globalną perspektywę z lokalnymi strukturami.
Co więcej, program Langlandsa okazuje się mieć nieoczekiwane mosty do innych dziedzin nauki. Badania z ostatnich lat pokazują, iż jego struktury odbijają się szerokim echem w fizyce teoretycznej, szczególnie w badaniach nad S-dualizmem, kwantowym odpowiednikiem symetrii klasycznej. Już w 2007 r. Edward Witten i Anton Kapustin wykazali, iż ten dualizm w niektórych teoriach cząstek elementarnych ma tę samą głęboką strukturę, która leży u podstaw geometrycznej hipotezy Langlandsa.
Nowe perspektywy dla matematyki
Ukończony dowód jasno udowadnia, iż marzenie Langlandsa sprzed dekad zaczyna się spełniać. Przez kolejne lata matematycy najprawdopodobniej będą badać, jak te nowe narzędzia można wykorzystać w innych kontekstach, od lokalnych wersji hipotezy, przez rozwijanie powiązań z teorią liczb, aż po budowanie modeli inspirowanych fizyką kwantową. A każdy z tych kroków może nas zbliżyć do odpowiedzi na jedno z najważniejszych pytań nauki – czy da się opisać matematykę w jednej, spójnej teorii?
*Źródło zdjęcia wprowadzającego: sasirin pamai / Shutterstock
